新诠释分离渊博而苍劲的“模体式”
使用“令东谈主盖头换面的陈旧”用具，数学家们处理了50年前对于若何对模体式（一类遑急函数）进行分类的猜念念，这对数论和表面物理产生了影响。
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这个模体式的图形使用了神态和高度形容了其复数值。
在一个新的诠释中，一个经久被忽视的数学对象终于成为东谈主们神态的焦点。
乍一看，模体式——几个世纪以来，其丰富的对称性诱导了数学家的函数——似乎依然引起了富有的神态。它们出目下多样种种的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年诠释费马大定理的环节因素，该定联结决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹撮要中推崇着中枢作用，这是一个收敛发展“大长入数学表面”的抓续辛劳。它们致使被用来接头弦表面和量子物理学中的模子。
然而在这些高下文中出现的模体式属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模体式领有出奇的结构，使它们更容易接头。然而更一般的“非同余”模体式远远杰出它们的友好的同余模体式。“若是你立时取一个模体式，那它是同余模体式的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的意义碰到同余模体式，不然你不要指望。它们特地忽视。
关联词，数学家对非同余模体式知之甚少，尽管它们无处不在。“它们实足是渊博的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的诠释很难，何况为接头在非同余情况下判辨模体式而缔造的用具也很难。这让数学家们不细目他们应该试图诠释什么。
关联词，对于非同余模体式的一个主要猜念念经久以来一直很杰出：就像沙漠中一个寥落的、不贯通的路标。
1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜念念提议者之一，zzllrr小乐译注）审视到非同余模体式似乎有一个终点明白的性质，将它们与同余模体式分离开来。应该有这样一种公然的样式分离两者“果真特地令东谈主诧异，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模体式特地不同，因为非同余模体式空乏同余模体式所具有的对称性。但这些互异天然遑急，但可能很玄机，难以察觉。
倏得之间，这些互异的明白把柄可想而知。
Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察其后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜念念。若是这是果真，它将允许数学家在大部分未缔造的非同余对象边界站稳脚跟。通过提供一种粗陋的要领来识别给定的模体式属于哪个类，该猜念念还不错将表面物理学中的一个主要技俩 - 旨在联结称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。
但50多年来，莫得东谈主能诠释这小数。最终，在 2021 年底，三位数学家生效了。他们的诠释似乎编造而来，聘用了莫得东谈主期许在这个接头边界看到的时期。数学家和物理学家目下初始探索这项责任的效果。
对称性和结构
非同余模体式并不老是被左迁到角落。
在19世纪，数学家刚刚初始发展模体式的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称号 - 它存在于复平面的上半平面中。
复平面是一种绘图复数的要领，复数分为两部分：实数和虚数。模体式输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模体式常常使用此映射进业绩貌。）
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同余模体式（左）具有非同余模体式（右）所空乏的附加结构。
模体式的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊麇集或“群”界说的。在模体式中，这四个数字永远是整数。至关遑急的是，与细目其某些属性的矩阵磋商的数字（称为行列式determinant）必须为 1。
有无尽多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对粗陋的顺序来面貌。举例，在通盘矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素皆比11的倍数多 1。
不错用这些关系界说的群——以及与这些群磋商的模体式——是被平凡接头的同余群。
但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的麇集不成以这种样式用很好的顺序来表征，这使得它们偏激磋商的模体式不一致。
直到 1930 年代后期——梗概在第二次宇宙大战初始时——同余模体式的接头才初始超越非同余模体式的接头。就在当时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）缔造了一个用具箱，使他或者细目模体式的好多属性，并将它们与其他遑急的数学对象磋商联。
Hecke的要领只适用于同余群偏激模体式。非同余群空乏使Hecke用具箱灵验的出奇结构。“当你出动到非同余宇宙中时，你在同余宇宙中领有的这个东西就会消散，”Franc说。
因此，非同余模体式似乎注定要永远被忽视。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，潜藏在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的互助者Bryan Birch（BSD猜念念另一共同提议者，zzllrr小乐译注）也曾写谈的那样，“天然结构更渊博，但似乎险些同样丰富。”然而当触及到拜访这种结构时，数学家们却不知所措。他们致使不知谈从那处初始。
这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。
整洁的圭臬
这两位数学家念念知谈更多对于非同余模体式，以及他们可能荫藏的任何玄机。
“这老是数学逾越的样式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你接头具有特地特殊属性和更多结构的东西。然后你去详尽它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。
为了接头给定的模体式，数学家常常将其暴露为称为q张开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无尽和，然后分析该张开的统共。家喻户晓，若是给定的模体式是同余的，那么统共的分母永远不会大于某个固定值。
在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer计较了q张开式的分数和模体式的分数。当他们这样作念时，他们审视到，若是模体式是不同余的，那么其磋商数列中的分母就会无杀青地增长。“他们骨子上不错对这些渊博的非同余体式说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东谈主女数学家，2022年）说。
2021年元旦，高级接头院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，陈说了“一个一相承诺的念念法”：他念念诈欺他们一直在接头的时期来处理一个实足不磋商的问题，即无界分母猜念念。
分离这两种类型的模体式果真这样容易吗？
数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察效果，标明无界分母可能口角同余模体式的深广璀璨。这个猜念念“特地惊东谈主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的圭臬来决定一个模体式是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个特地浅易的试金石，在其他情况下可能很难检测到。
“这险些好得令东谈主难以置信，”他补充说。“东谈主们果真不指望出现这样的遗址。”
事实上，莫得东谈主能诠释无界分母的猜念念。李文卿和其他少数东谈主或者诠释对于非同余模体式的特定族是正确的，但数学家不知谈若何处理一般情况。
然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高级接头所的Vesselin Dimitrov一谈发布了一份50页的诠释。“这太神奇了，果真很出乎预念念，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对若何处理这个问题莫得任何念念法。”
作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成进修谈路汇聚的第一步。“咱们通过为最粗陋的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了浅陋的孝顺，”Dimitrov说。
回到老路
Calegari、Dimitrov和唐并莫得入辖下手处理无界分母猜念念。在2019年底，他们但愿诠释某个数字（黎曼zeta函数的雷同值）是谬妄的——就像2的正常根同样，它不成写因素数。（他们的最终狡计是诠释这个数字和其他雷同的数字是超越的，这意味着，与数字π和e同样，它们不成写为具有整数统共的多项式方程的解。）
从名义上看，这个问题是实足无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东谈主发了一封电子邮件，他在电子邮件中面貌了 “一相承诺的念念法”：也许他们在昔时一年中缔造的时期不错重新用于诠释无界分母猜念念。
他们试了一下。在七个月内，他们得到了诠释。
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在诠释了无界分母猜念念之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）络续与她的两位合著者互助，接头领先引发诠释的问题。“咱们正在辛劳完成咱们初始的事情，”她说。
首先，他们推敲了两个空间：通盘具有有界分母的模体式的空间，以及通盘同余模体式的空间。根据无界分母猜念念，这两个空间应该是疏导的。由于空间得志某些属性，数学家只需要诠释它们的大小疏导。这样作念将自动示意它们的等价性。
Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地计较第二个空间的大小，从而取得一种同余模体式的愚顽计数。然而很贫困到第一个空间的大小忖度。他们必须集结好多不同的时期——包括来自超越数论的时期。
使用这些要领，他们标明具有有界分母的模体式的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模体式的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是诠释的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的意志才智作念到这小数。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的样式诠释了这种空间大小的界，可能给他们的时期带来更平凡的诈欺。）
“这口角常古典、秀好意思的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。
然后，三东谈主需要消弱两个空间之间的差距。这样作念将细目任何具有有界分母的模体式必须是同余的。
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因此，他们假定了相背的情况：存在具有有界分母的非同余模体式。根据界说，它将糊口在Calegari、Dimitrov和唐试图消弱的弊端中。然后，这三东谈主标明，这种非同余模体式的存在自动示意了好多其他具有有界分母的非同余模体式的存在。仿佛整片丛林皆是从那颗种子长出来的。
但他们依然细目了弊端的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余体式。
这意味着即使是一种这样的体式也不可能存在。他们诠释了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜念念。
数学家发现责任中使用的时期比效果自身更意义。“这些念念法以前从未用于接头模体式的算术，”Scholl说。
正如Voight所解释的那样，尽管模体式的接头领先是复分析边界的一部分，但目下的责任一直是数论和代数几何的边界。他说，这篇新论文璀璨着对复分析的回来：“这是一个令东谈主盖头换面的陈旧不雅点。
寻找新表面
数学家并不是惟一双无界分母猜念念感到高兴的东谈主。它也出目下表面物理学中。
在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer初始的故事同期张开。数学家们审视到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模体式之间有一种奇怪的磋商。j函数的统共精准地反应了魔群的某些性质。
其后的接头标明，这种磋商是由于群和模体式皆与称为二维共形场论的遑急粒子相互作用模子磋商。
然而，将魔群与j函数磋商起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。天然这些表面莫得面貌咱们糊口的六合，但联结它们不错对更实验的量子场论的行径产生新的见地。
因此，物理学家络续通过不雅察它们磋商的模体式来接头共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模体式主张，称为向量值模体式。
为走漏解特定共形场论的情况，你必须诠释它的模体式是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错初始面貌共形场论，致使不错发现你不知谈要寻找的新场论。这对于对通盘共形场论进行分类的抓续辛劳尤其遑急 - 物理学家称之为模提醒的技俩。
“一朝你知谈它是一个同余模体式，它使你或者在这个技俩中取得庞大的逾越，”Mason说。
物理学家缔造了一个框架，允许他们为正在接头的模体式假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学诠释——天然其他数学家其后或者提供这样的诠释，但他们的论点只在某些环境中灵验。根据Mason的说法，它还触及通往同余的“一条特地弯曲、纵横交错的谈路”，尽管他也指出，这条纵横交错的谈路产生了遑急的见地。
Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜念念的诠释突破了这一切。这是因为，事实诠释，与共形场论磋商的模体式老是具有整数统共。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母永远是有界的。由于无界分母猜念念指出有界分母仅与同余模体式磋商，因此不再需要作念出假定。“你致使不需要了解[共形场论]，”唐说。新的诠释会自动为通盘这些情况提供同余性 —— 以免费的样式。
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芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）接头模体式和磋商数学对象。
“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。目下终于处理了。
“这果真是一个遗址，”Mason说。“这仅仅遗址般地从这些数列是整数的事实中得出的。”
他依然初始将效果诈欺到我方的责任中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我念念要处理的效果提供了一个特地受宽待的捷径。它削减了多数我无法看到的潜在责任。”
它还将模提醒技俩和其他效果置于更苍劲的数学基础上。“这将使数学家或者重新诠释[以前的]效果，或者深信它们，”Mason说。
“我以为这果真会产生影响，终点是在数学方面，仅仅果真，果真把事情磋商起来，实在地了解正在发生的事情，”Tuite说。
数学超越性
在他们发布证晴朗的一年里，Calegari、Dimitrov和唐络续他们的互助。他们目下又回到了超越数论中领先引发他们对猜念念意思意思的问题类型。“咱们正在辛劳完成咱们初始的事情，”唐说。事实上，他们依然用他们的时期来诠释几个感意思意思的数字是谬妄数。
“他们果真把[要领]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到特地高兴。”
这些要领也可能适用于数论中的其他问题。
撇开时期不谈，无界分母猜念念的处理璀璨着更好地联结非同余模体式的第一个遑急里程碑之一。“这是一个了不得的配置，咱们不错通过这种样式在不同余体式上取得一些进展，”Franc说。“我对将来10年，20年感到高兴，望望会发生什么。”
李文卿，Voight和其他东谈主依然初始寻找出目下这些渊博模体式分母中的数字模式。他们但愿通过这样作念，不错找到更深档次结构的示意。
“这个无界分母的猜念念仅仅一个初始，”李文卿说。
作家：Jordana Cepelewicz 2023-3-9
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